我们证明了Wasserstein Sobolev空间\(H^{1,q}(\mathcal {P}_p(X， extsf{d})， W_{P， extsf{d}}， \mathfrak {m})中由有限正Borel测度\(\mathfrak {m})在\((P， extsf{d}) -Wasserstein空间\((\mathcal {P}_p(X， extsf{d})， W_{P， extsf{d}))上生成的柱函数代数在能量上是稠密的。作为一个应用，我们证明了如果底层度量空间是可分的Banach空间，那么Wasserstein Sobolev空间是自反的。如果\(\mathbb {B}\)是自反的(p。如果\(\mathbb {B}\)的对偶是一致凸的)。最后，我们还提供了克拉克森型不等式在Wasserstein Sobolev空间中成立的充分条件。
度量度量空间上Sobolev空间的研究是度量几何中一个很好的兴趣领域，我们参考[18,19,22,25]对该主题的一般处理。因此，提供建立在相关度量空间上的Sobolev空间的例子(尽可能具体)是很重要的;[12]的研究正是沿着这个方向进行的:作者分析了可分离Hilbert空间上概率测度的2- wasserstein空间[2,24,29,30]上的2- sobolev空间的性质。
让我们也提一下，除了从纯理论的角度来看有趣之外，对概率测度空间上的Sobolev空间的研究对于概率测度空间上的泛函分析也有重要的应用。事实上，到目前为止，非线性滤波中的进化博弈或柯尔莫哥洛夫方程等问题都是用经典的解概念来处理的，缺乏弱公式。在这方面，提供一个功能分析框架来确定这些问题可能是非常相关的。我们参考[12]的介绍，以获得更详细的应用和参考列表。
在这项工作中，我们推广了[12]中的结果，考虑了一个一般的完备可分度量空间，而不是希尔伯特空间，并且我们按照Wasserstein距离的顺序和Sobolev空间(而不是)处理一般指数p, q。在进入当前工作的细节之前，让我们简要回顾一下度量Sobolev空间的定义和[12]的结果，这是我们分析的起点。
在度量度量空间上Sobolev空间的可能方法中(例如牛顿的Sobolev空间[5,26])，这里我们关注的是与Cheeger[7]的思想严格相关的方法，它包含在Ambrosio, Gigli和savar
不断地，
-a.e. in X;
其中，f的渐近Lipschitz常数定义为
(1.1)的q-Cheeger能定义为
f的最小松弛梯度，即f的松弛梯度集合中最小范数的元素在哪里?众所周知，q-Cheeger能量也可以表征为所谓的预q-Cheeger能量的松弛
从某种意义上说
(1.2)Sobolev空间
这就是巴拿赫空间。一个显著的结果[4]是所谓的Lipschitz函数的强逼近性质:如果存在一个序列，使得
(1.3)在[12]中，作者为同一性质的有效性提供了一个一般准则，其中近似序列可以从满足的合适子代数中取，而不是整个
其中常数函数等于1。这相当于说它在Sobolev空间中的能量密度很大。特别地(见下面的定理2.9或[12，定理2.12]的证明)证明了一个等价条件是对它所成立的每一个条件都成立
(1.4)其中和是最小松弛梯度的合适概念(参见定义2.1)。[12]的第二部分致力于将(1.4)中的判据应用于可分离希尔伯特空间上的-Kantorovich-Rubinstein-Wasserstein(简而言之，Wasserstein)空间，用柱面函数的代数(参见定义4.1)表示，即形式为的函数的代数
(1.5)地点和用途。in的密度(这里是有限且正的Borel测量)特别有趣，因为圆柱体函数已经具有某种结构;特别是对于式(1.5)中的任意函数F，我们可以将梯度的概念与
(1.6)[12，命题4.9]证明，对于每一个，我们有
(1.7)使得前Cheeger能量满足平行四边形恒等式(参见[12，第4.2节])，从而迫使Cheeger能量为二次型。这相当于说Sobolev空间是Hilbert空间，这是度量Sobolev空间理论中的一个关键性质[4,14,21,27,28]。
本文的目的是遵循[12]的方法，研究更一般的一类Wasserstein Sobolev空间()的性质，其中是一个可分的Banach空间，是在其上的-Wasserstein空间，是在其上的正有限Borel测度。首先，在命题4.7中，我们对(1.7)中的表述作了一个推广:如果F是(1.5)中的柱面函数，则
(1.8)其中是p的共轭指数，是对偶范数，显然是由式(1.6)改编而来。注意，与(1.7)的表示不同，(1.8)的右侧并不与合适空间上范数的q次幂相一致，而是与Banach空间族的-直接积分中的范数的q次幂相一致(详见第5节)。
首先，在和是一个足够正则的范数的情况下(参见(3.3))，我们能够在相应的Sobolev空间(定理4.15的第一部分)中证明密度，采用[12]的技术(特别是使用(1.4)和(1.8)中的表示)来适应这种更一般的情况:这需要更复杂的结果(它们本身可能很有趣)，就不再是凸的Kantorovich势的性质而言(参见第3.1节)。
然后通过近似过程将柱面函数的密度扩展到对应于任意范数的Sobolev-Wasserstien空间，然后通过有限维投影中的标准嵌入技术将其扩展到任意可分离的Banach空间(分别为定理4.15和推论4.19的第二部分)。结果的精确表述如下。
设为可分离巴拿赫空间;那么在Sobolev空间中柱面函数的代数在q能量上是密集的。
让我们也提一下，我们能够将密度结果(定理4.18)扩展到任意完整和可分离的度量空间，而不是使用函数(当然是不可用的)来生成柱面函数，我们考虑这样一个序列
我们用最小的一元代数。
与[12]中Hilbertianity结果的精神相同，我们研究了Banach空间的哪些性质可以转移到Sobolev空间，这得益于上述定理1.1提供的柱面函数的密度。这是一致凸性的情况和一些克拉克森型不等式的有效性。对于这些性质，我们采用了类似的论证:由于式(1.8)中柱面函数的前cheeger能量对应于适当的Banach空间中范数的q次幂，因此足以证明该范数具有一致的凸性(见第1章)。克拉克森类型不等式的有效性)得到pre-Cheeger满足相同的性质;由于柱体函数的密度，这种性质被扩展到Cheeger能量，从而扩展到整个Sobolev范数(定理5.4和5.10)。关于反身性，论证在某种程度上是标准的:再次使用(1.8)中的前cheeger能量的表示，我们可以等距地将Sobolev空间嵌入自反的Banach空间(定理5.2)。关于反思性和一致凸性的精确表述如下(我们参考第5.1节获取与克拉克森类型不等式相关的结果)。
设为可分离巴拿赫空间。这是自反的。它的对偶是一致凸的)，那么Sobolev空间是自反的(相对于。一致凸的)。
在第2节中，我们总结了基于Lipschitz子代数和有界函数的度量Sobolev空间的构造，并报告了[12]中关于能量密度的一些结果。第3节的开头包含了我们将要使用的Wasserstein空间的一般框架，第3.1节给出了特定几何情况下Kantorovich势的一些紧致性结果:这些结果结合了[11,13]的思想，提供了对势的有用的Lipschitz估计。第4节包含了我们的密度结果的核心:在陈述了度量空间框架中柱面函数的定义之后，在第4.1节中，我们研究了柱面函数的渐近Lipschitz常数(命题4.7);在4.2节中，我们证明了基空间具有任意范数时的密度结果(定理4.15);在4.3节中，我们将这一结果推广到完全可分离度量空间(定理4.18)。最后，在第5节中，我们证明了底层Banach空间的相关性质传递到Sobolev空间:首先我们处理了自反性和一致凸性(定理5.2,5.4)，然后我们在第5.1节中研究了Clarkson类型不等式(具体参见定理5.10)。
在本节中，我们描述了一般的度量设置，并列出了[12]的一些结果，这些结果是我们分析的起点。对于这整个部分，我们固定了一个可分离度量空间，一个有限正的Borel测度(这个三重被称为波兰度量测度空间)，一个指数和一个单位分离的子代数，即满足
(2.1)其中是实值有界lipschitz函数在X上的空间，是等于1的常数函数。
如果是另一个完备的可分离度量空间，并且是一个Borel函数，我们定义上的有限测度(总质量相同)和Borel测度为
(2.2)我们定义了的-渐近Lipschitz常数
(2.3)式中表示以x为圆心、半径为0的开球，定义为
我们用X上的实值可测函数和Borel可测函数的空间表示，恒等式为-a.e.，类似地，用通常的实值，r-可和和Borel可测函数的勒贝格空间表示，恒等式为-a.e.。我们给出了收敛的尺度拓扑，同时给出了通常范数。当处理向量值或扩展实值函数时，我们也在-空间的符号中指定上域，即我们写，其中Y是(a的子集)巴拿赫空间。下面是我们采用的松弛梯度的定义[3,4,25](另一种方法参见[5,26])。
(-松弛梯度)我们说，如果存在一个序列且满足:
In -丈量的，弱的;
解析:选a。
下一个结果是松弛梯度的一个简单但重要的性质[3,4,25]。
如果有一个松弛的梯度，则存在一个最小范数的唯一元素
由于定理2.2，下一个定义是很好的。
(最小松弛梯度)令f有一个-松弛梯度。其最小范数松弛梯度用f的最小松弛梯度表示，称为f的最小松弛梯度。
(Cheeger能量和Sobolev空间)我们称具有-松弛梯度的函数集我们定义-Cheeger能量为
(2.4)Sobolev空间定义为。的Sobolev范数定义为
在下一个定理中，我们收集了松弛梯度和Sobolev空间的一些有用的性质(关于证明的更全面的列表和参考，参见[12])。
一组
是凸的，并且它是封闭的关于在测度中的收敛和在的弱收敛的积拓扑。特别地，约束是弱封闭的。
(强近似)如果取闭合(可能无界)区间内的值，则存在一个序列，其值在I中使得
(2.5)如果更进一步，我们还可以找到(2.5)中所示的一个序列强收敛于fin。
(点最小性)如果G是X中的-a.e.的-松弛梯度。
(截断)如果，，则函数和也具有-松弛梯度和
(2.6) (2.7)(Sobolev范数)是巴拿赫空间。
注意，如果，我们将简单地使用符号、、和省略依赖关系。
(cheeger前能量及其弛豫)众所周知(参见[25，推论3.1.7])，对于每一种情况都是如此
(2.8)前契格能量的定义是
(2.9)我们感兴趣的主要性质是度规Sobolev空间中子代数的密度。
(利普希茨函数子代数的能量密度)我们说，如果存在一个序列满足
(2.10)不难看出，定义2.7等价于具有等最小松弛梯度的等式，等价于具有等范数的Sobolev空间的等式，以及以下强逼近性质:对于每一个都存在一个序列满足
(2.11)Lipschitz和有界函数的子代数的密度的以下表征在[12]中得到了证明。
设一个密集子集。然后
(2.12)当且仅当根据定义2.7的q能量密度大，其中函数定义为
我们将本节的第一部分用于Wasserstein空间的一些一般性质(参见[2,24,29,30]对最优输运的一般回顾)。本节的第二部分将讨论在特定几何情况下的坎托罗维奇势的性质。我们固定一个指数(回想一下)，我们注意到所有向量空间(因此所有巴拿赫空间)都是实向量空间。
如果是度量空间，我们用X上的Borel概率测度空间和集合来表示
给定和之间的运输计划集，用表示并定义为
其中for each和表示向前推操作符，如(2.2)所示。之间的-Wasserstein距离定义为
众所周知，上面的极小值是在非空凸集上得到的，并且-Wasserstein空间是完全可分的，如果是完全可分的。Wasserstein距离的Kantorovich对偶表明
(3.1)这样的对的集合在哪里
我们很容易检查每一个和
(3.2)其实，选择和设定，我们都有
在本节中，我们研究了有限维实数Banach空间中由范数p次幂引起代价的Kantorovich势的一些稳定性性质。这样，我们就固定了一个维数和一个范数
(3.3)我们将映射定义为
它的勒让德变换由
的双范数在哪里。由于h是严格凸的，它是可微的，我们用满足等式的梯度来表示
(3.4)是上的标准标量积。之所以将我们的分析限制在满足条件(3.3)的范数，是因为h通过公式推导出的代价函数c(x, y)
(3.5)与[11,13]中研究的框架兼容，我们将经常使用这些框架的结果。更具体地说，如上所述的函数h满足[13]中的假设(H1)、(H2)和(H3):虽然(H1)和(H3)是显而易见的，但让我们只提一下，单位球的平滑性使得单位球满足某些(参见[9，定义1.1，定理1.9])的所谓球条件，这反过来又意味着(H2)。还注意到，作为单位球光滑，[20，命题13.14]。
我们考虑完全可分度量空间，其中是由引申出的距离，以及相应的-Wasserstein空间。为了简化符号，在本小节中，我们将简单地写and，省略依赖于。此外，我们用绝对连续的概率测度的子集来表示d维勒贝格测度，我们设置
(3.6)最后让我们开始
下一个定理使用Gangbo和McCann[13，第3节和第4节]和Figalli和Gigli[11]的结果，收集了当其中一个措施的支撑是封闭球时实现(3.1)中最优势的各种有用性质。这个结果对于这种情况起着与[12，定理3.2]相同的作用，并且等于欧几里得范数。
对一些人来说是这样。任意一对局部lipschitz函数，这样
对于每一个，
，
也满足
(3.7)如上所述，存在一个满足条件(i)、(ii)和附加条件的唯一对
．
这样的唯一对用。表示。最后，该函数满足以下估计:存在一个仅与p和R有关的常数，使得
(3.10) (3.11) (3.12) (3.13)设为固定值，c如式(3.5)中所示。我们把证明分成几个步骤。
设和是局部满足(i)和(ii)的Lipschitz函数，则映射定义为
分别为从点到点和从点到点的最优运输图。特别和满意(3.7)。
这个命题的证明是经典的，因此被省略了(参见[30，定理2.12]，[24，定理1.17]或[2，定理6.2.4])。
通过对[2，定理6.14]和[2，定理6.15]的证明，我们得到存在一个c-凹函数，使得u是有限的，是有限的，并且
u的c变换的定义是什么
是它的投影。回想一下，u的c-凹性意味着存在一些固有的
如果我们定义为
则是实值且局部Lipschitz，它是有限的，且
(3.14)因为对于每一个，那么对于-a.e.存在一些这样的。这给出了-a.e. in并证明了和(3.14)因为处处都是有限的。我们来证明它是实值。因为v是固有的，存在一些这样的。然后
如此......以至于......
因为地图的边界在每一个固定的。为了证明它是局部利普希茨，只要观察到，对于每一个，我们都有
式中为c在紧集合上连续性的一致模。
如果我们定义u的限制，那么我们得到它是实值的局部利普希茨。
我们用表示u的有效定义域
它的内部是。由于u是c凹的，通过定理1的证明[11，第2步]，我们知道对于每一点都存在一些且使得集合的内部
不与D(u)相交。因此我们得到了这个。而且u在定理1的证明[11，步骤3]中是局部Lipschitz。那么证明这一点就足够了。因为是稠密的，而u是有限的，那么
最后
如此......以至于......
如果我们把和定义为
则它们局部为Lipschitz，，且满足表述的(i)、(ii)、(iii)、(iv)点。
唯一需要检查的重要事实是(3.8)。我们将修改后的代价函数定义为
函数为
因此，很明显
通过[30,Prop. 5.8]，我们得到了精确地简化为(3.8)以防万一。
这一对是独一无二的。
假设是另一对局部Lipschitz函数，满足点(i)， (ii)， (iii)和(iv)。地图定义为
是至的最佳交通地图。由于和都是c凹函数的(限制)并且都推到，通过[13，定理4.4]我们得到-a.e. in，这特别给出了(回想一下h处处可微)-a.e. in。由此和(iii)点我们得到唯一性。
让。那么存在一个仅依赖于p和R的常数，使得(3.10)、(3.11)、(3.12)和式3.13成立。
(3.10)是初等不等式的结果
事实是
(3.11)、(3.12)后接(3.10)。最后，式(3.13)后面是不等式
(3.15)对一个只依赖于p的合适常数成立，事实上，使用(iii)，我们得到了它
如此......以至于......
存在一个仅依赖于p和R的常数，使得它是满足式(3.10)的函数，则
(3.16)事实上，通过(3.10)，如果我们取任何，我们有
这就是(3.16)
在下面的结果中，我们收集了定理3.1中势对序列的一些性质。目的是证明在适当的条件下，这些序列收敛于最优势。
在接下来的命题中，我们使用符号
设和设为函数序列，满足
为了每一个，每一个，每一个。然后是本地(w.r.t.)。均匀地(w.r.t.)和李普希茨。
这个证明强有力地基于[11](参见[13，命题C.3]中的类似方法)，它被分为两个主张。对于整个证明，我们扩展到简单的设定
序列是局部的(w.r.t.)。均匀地(w.r.t.)有界的。
因为对于每一个，足以证明它从下到下是局部一致有界的。让我们用矛盾的方法假设存在一些和一个序列，使得和。对于每一个我们都可以选择一些这样的
这意味着。因此，since and
我们得到了这个，它给出了这个。现在我们把曲线定义为
因为，我们可以假设，对于每一个，并定义
我们称它为。的确，如果是这样，我们有
(3.17)我们在哪里用过初等不等式
让我们获得索赔。在传递给(未重新标记的)子序列之前，我们可以这样假设
因为存在一些这样的。让我们为每一个人;这并不难检查截断的集合
是这样的，对于每一个。然后为我们所拥有的一切
欧几里得维单位球的度量在哪里?它是一个常数吗
欧几里得范数在哪里。如果达到极限，就会产生矛盾。
因为每个人都有这样的存在
因此序列是局部的(w.r.t。)均匀地(w.r.t.)李普希茨。
让自己固定;我们宣称存在这样的，如果有这样的
然后。让我们定义一下
的时间和地点
在这里，我们用要求1来保证上极限值是有限的。让我们如上所述来考虑。为了证明这是所寻求的常数，考虑以下情况就足够了。如果我们把曲线定义为
我们在(3.17)中讨论过
如此......以至于......我们这样设定
如果和是固定的，我们可以找到一个最小序列，在某种意义上
因此，根据我们刚刚证明的结果，它是有界的，因此收敛到某个(未重新标记的)子序列。将上面的不等式取极限为，就得到了
这证明了它是一个最小化器，由于它属于，我们得到第二个声明。
设和设为函数序列，满足
为了每一个，每一个，每一个。那么就存在一个子序列和两个局部Lipschitz函数它们局部一致，局部一致
(3.18) (3.19)的c超微分算子在哪里，它的图是由
(3.20)证明分为三个主张，第一个主张改编自[13，命题C.4]。根据命题3.3，我们知道序列是局部的(w.r.t.)。均匀地(w.r.t.)和李普希茨。根据定理3.1(特别参见(3.10)和(3.11))，我们得到序列是局部的(w.r.t)。均匀地(w.r.t.)和李普希茨。因此，我们可以应用ascoli - arzelz <e:1>定理，得到一个子序列和两个局部Lipschitz函数的存在性，使得局部一致和局部一致。
对于每一个都存在一个常数，使得
其中是(的c超微分算子，其定义类似于以明显的方式适应(3.20))。而且对每一个人。
让我们从主张的最后一部分开始;让它被固定。通过假设，我们可以找到这样一个序列，对于每个序列都成立
这就给出了
直到一个(未重新标记的)子序列，存在一些这样的子序列我们得到了上述不等式的极限
意思是。让我们来看看索赔书的第一部分。让我们固定下来观察一下，根据定理3.1(特别参见(3.11))的论证，数列是局部的(w.r.t)。均匀地(w.r.t.)有界，所以存在一些这样的
(3.21)我们宣称存在一个常数，使得，无论何时都是这样
(3.22) (3.23)然后。通过矛盾假设我们可以找到一个满足(3.22)和式(3.23)的序列，使得。让每一个。既然，并且，我们可以假设对于每一个。我们也定义为。最后，让我们观察到(3.21)意味着，对于每一次
因此，我们可以求式(3.22)和式(3.23)的值
因此我们推断
(3.24)现在求h在这一点上的子微分的唯一元素
(3.25) (3.26)将(3.24)与(3.26)结合得到
对于最后一个不等式，我们使用了(3.25)。因为和，我们得到了一个矛盾，证明了我们的第一个断言。我们设置并证明了它。如果我们定义，我们有这个并且通过定义满足(3.22)和式(3.23)所以通过上面的要求我们得到这个，当然。这就是对这一主张的证明。
我们有这个
让自己固定;观察到，如果存在任何序列，使得对于每一个(存在至少一个这样的序列根据声明1)，那么根据声明1是一致(w.r.t)有界的，因此我们可以提取一个子序列，这样对于某些。根据c-超微分的定义，我们可以得到它的任意值
传递到极限，我们得到这个，所以。这特别证明了从任意点序列中，对于每一个点，我们都可以提取出收敛于元素的子序列。现在我们来看极限的证明。我们证明了从n(j)的任何(未重新标记的)子序列中，我们可以再提取一个子序列，使我们具有上述收敛性。对于每一个，我们都能找到一些这样的
如上所述，我们找到了这样的子序列。然后我们有
这就是对这一主张的证明。
我们有-a。
让;注意到A是满量的。让;因为在y处是可微的，根据[13，引理3.1]我们知道任意满足，所以它包含在。另一方面，主张1暗示存在一些常数，使得对于每一个。我们定义为紧集中映射的连续性的一致模。根据权利要求2，对于每一个，我们都能找到这样的，如果，那么
这意味着对于每一个存在一些这样的。再次使用[13，引理3.1]和在y处都是可微的事实，我们得到了和。然后
对于每一个。这就是对这一主张的证明。
本节的目的是研究可分完备度量空间上-Wasserstein空间上的q-Sobolev空间。特别地，我们将在本节的最后证明，在Sobolev空间中，由足够丰富的Lipschitz代数和有界函数生成的柱面函数的代数在q能量上是密集的。对于整个截面都是固定指数。
设一个完备的可分离度量空间。我们将[12]中柱面函数的定义扩展到这种更一般的情况。我们可以把它和每一个函数联系起来
(4.1)它属于感谢(3.2)。如果，则用从到的对应映射表示。
(-柱面函数)设为函数代数;我们说一个函数是-柱面函数，如果存在，并且满足
(4.2)我们用。表示这样的函数的集合。
因为对于每一个的范围总是包含在有界集合中，其中也有函数属于。事实上，在外面考虑一个与on重合且等于0的函数就足够了。特别是每一个函数的形式，都属于。
我们使用Borel集合的符号
(4.3)现在我们引入柱面函数的微分定义，仍然遵循[12]，其中为巴拿赫空间，为诱导的距离。在这种情况下，我们用有界的，连续可微的Lipschitz函数空间来表示。
让;然后，给定，并且这样，我们定义条件为，的F的Wasserstein微分为
(4.4)我们也会用函数来表示，我们会设置
(4.5)双范数在哪里。
让，让，再让。我们定义曲线为
(4.6) (4.7)其中映射定义为，对于每个和。如果，给定，并且这样，那么
(4.8) (4.9)对于每一个。这是链式法则的一个简单结论。
这一点不难验证
(4.10)关于自然积(窄范数)拓扑。原则上可以依赖于F的选择，并且用来表示F。在命题4.7中，我们证明了对于每一个函数都是唯一表征为In的，因此F是唯一表征为In的。然后我们就可以去掉下标in，简单地用。
下面的引理在[12]中得到了证明，它将在命题4.7的证明中有用。
设Y是一个波兰空间，是一个有界连续函数。如果是窄收敛(即与Y上的连续有界函数对偶收敛)到as的序列，则
下面的命题对应于[12，命题4.9]，证明非常相似，但由于一些差异，我们仍然在这里报告。
设是一个可分离的巴拿赫空间;那么，如果，和是这样的，我们有
特别地，不依赖于F的表示的选择，而仅仅依赖于F的依赖(参见注释4.5)。
Let和Let with是这样的，in和
设平面为(4.6)中定义的曲线;我们有
第一个等式来自(4.8)。两边除以，得到
观察这个，这样每一个。利用支配收敛定理和引理4.6，我们可以将上述不等式传递到极限
因此我们得到
为了证明另一个不等式，我们考虑和中的单位球的可数密集子集，对于每一个映射，定义为
如果我们定义集合，就不难检验它是可测量的
那么是一个可数的可测分割，可以写成，所以是可测的。此外，很明显
(4.11)现在让我们考虑定义为的映射
和(4.7)中定义的曲线，上面有(注意，因为它是Borel可测量的，对于每一个)。由(4.9)得到这个
我们使用(4.11)。此外
因此
然后我们得到求取的不等式，并由此得出证明。
注意这个不等式
即使巴拿赫空间是不可分的也成立，因为可分性在证明的第一部分中没有使用。
由于提案4.7，下面的定义是恰当的。
设为可分离巴拿赫空间。对于每一个，我们定义
(4.12) (4.13)其中，及是如此，并如备注4.5所述。
在这整个小节中(除了定理4.15)，我们再次关注具有足够正则范数的有限维巴拿赫空间。为了达到这个目的，我们确定了满足(3.3)的维度和范数。正如我们在3.1节中所做的那样，我们研究完全和可分离度量空间，其中是由诱导的距离，以及相应的-Wasserstein空间。为了简化符号，正如我们在3.1节中所做的那样，在本小节中，我们将简单地写and，省略依赖于。对于本小节的其余部分是一个正的有限的Borel度量。
回想一下，对于有界Lipschitz函数，与相关的前cheeger能量(参见(2.9))定义为
(4.14)多亏了命题4.7，如果F是一个圆柱体函数，我们有一个很好的等价表达式
(4.15)的对偶范数为。注意，这不仅仅是Bochner空间中的-混合范数，因为计算内范数的测度w.r.t.是变化的，而是Banach空间的直接积分中的范数(参见例[10,17]或第5节)。
我们采用这个符号，并将这一小节用于定理4.15的证明。以下引理是[12，引理4.14，引理4.15]的明显改编，它们的证明是相同的，因此省略。
设一个函数序列，使得和在每一个有界集合中一致有界设F, G是Borel函数，G是非负的。如果
(4.16)然后和。
让我们满足生长条件
(4.17)对于给定的正常数，设为导数具有紧支持的非降函数。那么这个函数是李普希茨的，它属于，和
(4.18)让它(这是单位d维欧几里得球)，对于每一个，每一个，每一个。让我们为每一个定义标准的缓和剂
给定和，我们定义
注意这个和as。此外，如果，我们有
(4.19)这很容易检验，如果我们设
(4.20)然后我们有
(4.21)让和。我们定义连续函数为
下一个命题的证明遵循[12，命题4.17]中的证明，但由于指数p可能不同于2，因此估计更复杂，因此完整地报告。
让，让是这样的，并且
，让答案是no导数具有紧支持的递减函数。然后
设一个密集可数集合，对于每一个，(见定理3.1)，
注意，通过(3.11)
它拥有
因为对于每一个，我们有这个
根据和的定义，对于每个和，我们有
这证明了对于每一个。显然，如果，这是一个等式。根据式(3.16)，存在一个常数，使得对每个和都成立
这里我们用了(4.19)和式(4.21)因此我们推断，对于每一个
(4.23)选择并传递到极限，就像我们从(4.23)中得到的那样
利用的密度和的连续性，我们推断出
证明第一个说法。
如果和，它成立
对于-a.e，其中，。
对于每个，(3.13)和式(3.12)(也使用式(3.15))产生
(4.24)这里的常数只取决于。因为映射定义为满足
引理4.11和上述估计产生
Since可以写成
我们可以应用定理2.5(4)得出第二个命题的证明。
对于每一个都存在一个独立于h的常数，使得
(4.25)使用(4.24)就足够了。
设为递增序列，设。如果，那么
自
我们明白了
那么证明这一点就足够了
(4.26)让我们设置和，让我们提取一个(未重新标记的)子序列，使索赔声明中的子序列作为限制实现。因为对于每一个
，我们有
通过收敛，我们可以发现
最后一个不等式是怎么来的(3.11)将上述不等式与式(4.27)结合，可以得到存在这样的不等式
(4.28)因此，我们可以应用命题3.4，得到一个子序列和两个局部Lipschitz函数的存在性，使得局部一致存在于，局部一致存在于和(3.19)成立。作为不等式
对每一个都满足，我们可以通过极限得到定理3.1中的点(i)。因为法图的引理是
(4.29)这个特别给出了这个。通过式(3.11)我们得到了这个我们也可以应用支配收敛定理得到它
(4.30)结合式(4.29)和式(4.30)，利用它，我们得到了定理3.1中关于这对的第(ii)点，因此，由定理3.1的第一部分，我们得出
那么，由于(3.12)存在一个常数，使得
对于每一个，我们可以用支配收敛定理来得出结论
这就是第四个主张的证明。
它拥有
让它定义为
其中是权利要求2所适用的全尺寸子集。注意到B是满量程的。让它固定，让我们选择一个递增的序列，这样
根据权利要求1，我们知道，所以我们可以应用权利要求4，并得出结论
根据权利要求2，右边大于;这就是第五个主张的证明。
最终，我们通过权利要求1观察到
(4.31)此外，很明显
是一致有界的。然后我们可以将权利要求2的表达式、权利要求3的统一估计、权利要求5的极限与引理4.10结合起来得到(4.22)。
与[12，推论4.18]完全一样，我们得到以下推论(它的证明可以很容易地修改，从而省略)。
让我们这样做对一些人来说。然后
下面的定理提供了本小节的主要结果。回想一下第3节中Wasserstein空间的符号和定义2.7中密度在q-能中的定义。
假设是固定指数(不一定是共轭指数)任意范数。那么代数在q能量中是密集的，其中是范数引起的距离。
我们先假定这是(3.3)里的规范。则密度结果由推论4.14和定理2.9得出，因为存在这样的集合，且
是稠密的。这可以从定义每个度量中看出
所以是in, and
,从哪里E是的度量。
现在让我们假设这是任何规范。我们可以构造一个满足(3.3)的范数序列，使得
例如，我们可以取其单位球由集合给出的范数
欧几里得范数是一个常数，使得对于每一个。注意，由于构造是严格凸的，它包含-单位球，并且满足1/k-球条件，因此它的边界为(见[9，定义1.1和定理1.8])。通过构造，我们得到。
我们用-Wasserstein距离表示。我们有这个
并且，作为范数和等价的，那么距离和归纳出相同的拓扑。让;根据[22，命题3.3](又见[1，定理9.1])，我们可以找到一个子序列，使得对于每一个，都存在这样的子序列
因为在证明的第一部分，它的q能量密度很大，我们得到了它
传递给我们得到这个
它给出了期望的密度，因为这需要Cheeger能量相等，因此也需要最小松弛梯度相等(另见注释2.8)。
正如在[12，命题4.19]中所论证的那样，我们不难看出，对于上的更小的函数代数，我们也可以得到密度结果。
让，并让任何规范。设一个函数代数，对于每一个都存在一个这样的序列
那么代数在q能量上是密集的。
命题4.16中一个可能的选择是
(4.33)这里是任意正常数。
在本节中，我们证明了任意可分度量空间中合适柱体函数的能量密度。我们考虑这样一个序列
(4.34)我们定义
(4.35)我们将不得不嵌入，出于这个原因，我们需要修复一些相关的符号。
我们考虑映射族，其中对于每一个，定义为
我们考虑由。给出的地图集合
(4.36)伴随映射由
(4.37)如果一个函数可以写成
(4.38)Where is as in (4.33) and is as in(4.35)。很明显，它的梯度可以写成
(4.39)On，我们考虑圆柱函数的代数(回想定义4.1)。对于我们能找到的每一个函数，一个函数和一个函数
(4.40)也很容易检验一个函数F是否属于当且仅当存在且满足
(4.41)因此，根据4.7号提案，我们有
(4.42) (4.43)在我们使用的地方，双范数(in范数)，for，和for范数。注意这是1范数;特别地，的对偶范数是上的-范数。下面定理的证明结合了[12，定理6.4]的有限维投影技术和标准嵌入策略。
设一个完备的可分离度量空间设一个可数函数集，使得
求X上包含的函数的最小一元子代数。最后，设为固定指数(不一定是共轭指数)，并设为上的正有限Borel测度;由，生成的柱面函数的代数在q能量上是稠密的。
让我们考虑定义为
然后是度量空间和之间的等距，其中是范数的限制。这当然意味着定义为
是度量空间和之间的等距。如果我们设and
则空间和是同构的(见[25，定理5.3.3])。而且我们可以看到，这足以证明代数在q能量上是稠密的。为了达到这个目的，根据定理2.9，修正并证明这个函数就足够了
(4.44)我们把证明分成两步。
第一步，充分证明，对于每一个函数
(4.45)其中定义为
事实上，利用沃瑟斯坦距离的连续性，很明显对于每一个
(4.46)因此，应用定理2.5(1)-(3)就足以得到(4.44)。
第二步，假设是固定的，我们用Wasserstein距离表示，这里是范数。这很容易验证
因此，如果我们定义函数为
我们明白了
我们还介绍了通过定义为的(1-Lipschitz)映射的推进测度。将定理4.15应用于，我们可以找到一个柱面函数序列，，使得
(4.47) (4.48)因此，我们考虑(4.41)中定义的函数
(4.49)因为对于每一个
在某种程度上产生……
另一方面，(4.43)和Remark 4.8的收益率
所以，直到一个未重新标记的子序列，我们有
和-a.e. in。由定理2.5(1)-(3)，得到式4.45，得出证明。
设是一个可分离的巴拿赫空间并且是上的一个正有限的Borel测度。那么代数在q能量上是密集的。
考虑形式为，的函数就足够了，其中为单位球的子集，用于分离中的点。注意每一个都属于。
设为一个完备的黎曼流形，设为一个正的有限的Borel测度，其中为g诱导的黎曼距离，则代数在q能量上是密集的。
考虑满足(4.34)的函数序列就足够了。
本节的目的是研究Banach空间(或其对偶)的一些性质如何传递到建立在其上的Wasserstein Sobolev空间。整个截面是一个固定可分的Banach空间，是一个正有限的Borel测度。
为了研究(4.15)中的前cheeger能量的性质，我们将使用巴拿赫空间([10,17])的-直接积分的概念(也参见巴拿赫束的相关概念[23])，我们在这里以最适合我们需要的形式简要介绍它。设为函数的向量空间
不难检查，对于每一个定义为
是可以衡量的。我们用完备的-范数表示，其中是等式-a的等价关系。我们说(即对于每一个)是一个简单函数，如果存在一个有限的可测量的分割，并且值使得对于每一个。如果存在一个简单函数序列，使得对于-a.e。对的直接积分是Bochner可测函数模等价的向量空间，表示为。关于的直接积分是由这些函数G组成的子空间，使得(可测)映射在其中。
设为可分离巴拿赫空间。然后是巴拿赫空间。此外，它是自反的(见下文)。是一致凸的)，则是自反的(如。一致凸的)。最后，if, then。
完备性可以在[10，命题3.2]中找到(参见[17]，其中首次引入了直接积分的概念)。
如果是一致凸的，那么我们可以利用[15，定理2.2]，结合的是一致凸的，并且的凸模大于的凸模，是后者的一子空间，以及Bochner空间的凸模不依赖于而只依赖于一致凸空间的凸模的事实。
如果是自反的，那么也因此也是自反的，因此我们可以应用[17，定理6.19]，同时也注意到，显然，它是自反的。
让现在，与和，为一些;注意，我们正在查看发送到的映射。当然对于每一个和它都是一致有界的。此外，它是Bochner可测量的，因为为了用简单函数来近似它，用-值简单函数来近似形式的每一项就足够了(这是可能的，因为这个映射是可测量的)，所以
是一个简单函数近似的序列。
设为可分离自反巴拿赫空间，设为(不一定是共轭的)固定指数，设为上的正有限Borel测度。那么Sobolev空间是自反的。
给出一个自反巴拿赫空间的线性等距就足够了。为简便起见，我们用
让我们定义为(被赋予规范的)的闭包
用每一个的投影表示，我们定义由的截面
很明显，它是闭合和凸的所以它也是弱闭合的;让我们证明:如果根据推论4.19，我们能找到这样一个序列
根据命题4.7，我们有它是一致有界的，因此，通过Y的自反性，我们可以找到这样的子序列
这个给出了这个和那个。而且，如果我们考虑和，那么就存在这样的，在这样那样中
我们用商范数定义:元素是等价类，商范数是由
因此，线性等距定义为
由于自反空间的闭子空间是自反的，自反空间的商是自反的，所以是自反的，由此得出证明结论。
下一个结果[31，引理2]提供了一致凸性的定量版本，它将从前Cheeger能量传递到Cheeger能量。
设为巴拿赫空间。那么它是一致凸的当且仅当存在一个严格递增的连续函数满足
设为一个一致凸的可分离巴拿赫空间，设为(不一定是共轭的)固定指数，设为上的一个正有限的Borel测度。那么Sobolev空间是一致凸的。
由命题5.1提供的一致凸性，并利用命题5.3，我们得到，对于每一个存在一个连续的严格递增函数，使得
(5.1)在这里，我们能够识别直接积分中的范数，以及前cheeger能量的q次方根，这要归功于命题4.7。如果，由于推论4.19，我们可以找到这样的序列
利用Cheeger能量w.r.t.的收敛性、连续性和单调性，得到式(5.1)代替式(5.1)成立。由命题5.3，我们得到一致凸，在这个意义上，对于每一个存在一个这样的那个，每当有这样的那个和，然后。由于-范数是一致凸的，所以它的q和(即q次幂和的q次方根)是一致凸的(参见例[8，定理1])。这意味着Sobolev范数是一致凸的，并给出了证明。
给定一个可分离的Banach空间和上的正有限Borel测度，我们可以考虑上的测度，其中定义为
可以立即检查，对于每一个Sobolev空间和都是同构的，参见[12,Section 5.2]。注意，选择是不相关的，因为对于每个。根据这个观察结果和定理5.2和5.4，我们得到以下推论。
设为一个可分离的Banach空间，设为一个固定指数，设为上的一个正有限的Borel测度。这是自反的。如果是一致凸的)，则是自反的(如:一致凸的)。
我们注意到，在上述推论中关于反身性的陈述是已知的(参见[25，推论5.3.11])，而关于一致凸性的部分则是新的，至少在我们的知识中是新的。
在本小节中，我们将展示如何从可分离巴拿赫空间中满足对偶范数的类似不等式出发，推导出Sobolev范数的克拉克森型不等式。下面的不等式是由[6]首次引入的，它是经典克拉克森不等式[8]的推广。
设V是实向量空间，设。我们说一个泛函满足V if中的(r, s)- boas不等式((r, s)-(BI))
设V是一个实向量空间，设两个泛函满足V中的(r, s)-(BI)对于某些这样的。然后函数定义为
也满足V中的(r, s)-(BI)
让;让我们开始
因为满足V中的(r, s)-(BI)我们有
(5.2) (5.3)然后
这里我们用三角不等式来表示范数首先是(从第二行到第三行)然后是(从第五行到第六行)，不等式(5.2)和(5.3)从第三行传递到第四行。
设为波兰度量空间，设为满足(2.12)的分离一元子代数，设。如果满足(r, s)-(BI) in，则满足(r, s)-(BI) in。如果另外，则Sobolev范数满足(r, s)-(BI)。
对于这种情况，满足(r, s)-(BI)的证明与[12，定理2.15]相同。如果另外我们知道，则-范数满足[6，定理1]中的(r, s)-(BI)，因此我们可以应用引理5.7得出Sobolev范数满足中的(r, s)-(BI)。
在下一个命题5.9中，我们将展示如何从范数的相同不等式中推导出前cheeger能量的(r, s)-(BI)。我们不是用克拉克森不等式的有效性来陈述我们的假设，而是直接用(BI)来陈述:这两个概念通常是不同的，我们参考[16]来处理它们之间的关系。
设是一个可分离的Banach空间并且是上的一个正有限Borel测度;假设存在(r, s)，使得-范数满足for -a.e中的(r, s)-(BI)(参见定义5.6)。然后函数定义为
满足(r, s)-(BI) in。
让。我们用范数表示
根据假设我们有
对于-a.e。计算两边的-范数并在和中应用闵可夫斯基不等式(注意和)我们得到
即。
提案4.7。
在命题5.9的相同假设中，还假定。那么Sobolev范数满足(r, s)-(BI)
这是将命题5.8，推论4.19和命题5.9结合起来的结果。
如果对于某些和是欧几里德范数，那么Sobolev范数满足(r, s)-(BI)对于每一个。
这是由-范数满足(r, s)-(BI)的事实和定理5.10。
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